Schizo Sapiens (rainy_sunny) wrote,
Schizo Sapiens
rainy_sunny

Category:

Математика музыкального строя — приложение.

Дополнительные материалы к предыдущему посту

Нижеследующие таблицы наглядно показывают ситуацию с чистотой интервалов в разных исторических строях.

Размеры интервалов указаны в центах и округлены до целых центов.

Чистые интервалы выделены полужирным. Интервалы, которые отличаются от чистых на 10-20 центов выделены тёмно-красным, а отклонения более чем на 20 центов — ярко красным. Получается так:
чёрный жирный — совершенно чистый интервал;
просто чёрный — очень чистый (отклонение менее 10 центов);
тёмно-красный — не очень чистый (отклонение от 10 до 20 центов);
ярко-красный — совсем фальшивый (отклонение больше 20 центов).

«Волчья» квинта (и всё, что из неё вытекает) в пифагоровом и среднетоновом строе у меня получилась в разных местах, так вышло. Вообще, её положение зависит от двух вещей — от какой ноты начали строить звукоряд и где решили замыкать квинтовый круг. Суть от этого не меняется. В любом случае, в пифагоровом строю будет одна «волчья» квинта из 12-ти (вопрос лишь в том, какая именно), две «волчьи» большие секунды из 12-ти, и так далее...

Расстояния от До до остальных нот в той же октаве:
  Пифагоров Среднетоновый на 1/4 коммы Натуральный Хорошо темперированный
(3-я темперация Веркмейстера)
Равномерно темперированный
С 0 0 0 0 0
С#/Db 114 117 112 90 100
D 204 193 204 192 200
D#/Eb 294 310 316 294 300
E 408 386 386 390 400
F 498 503 498 498 500
F#/Gb 612 580 590 588 600
G 702 697 702 696 700
G#/Ab 815 814 814 792 800
A 906 890 884 888 900
A#/Bb 996 1007 996 996 1000
B 1110 1083 1088 1092 1100
С 1200 1200 1200 1200 1200



Размер полутонов:
  Пифагоров Среднетоновый на 1/4 коммы Натуральный Хорошо темперированный
(3-я темперация Веркмейстера)
Равномерно темперированный
С-C# 90 117 112 90 100
С#-D 114 76 92 102 100
D-D# 90 117 112 102 100
D#-E 114 76 70 96 100
E-F 90 117 112 108 100
F-F# 90 77 92 90 100
F#-G 114 117 112 108 100
G-G# 90 117 112 96 100
G#-A 114 76 70 96 100
A-A# 90 117 112 108 100
A#-B 114 76 92 96 100
B-C 90 117 112 108 100

Сложно сказать, что именно является натуральным полутоном: их несколько и все натуральные.
Один полутон равен 16/15 или 112 центов. Это — разница между чистой квартой и чистой большой терцией. Другой — 25/24 или 70 центов, это разница между чистой большой и чистой малой терциями. Ещё один — 135/128, или 92 цента.
Поэтому в этой таблице я не стал выделять никаких отклонений.



Размер тонов:
  Пифагоров Среднетоновый на 1/4 коммы Натуральный Хорошо темперированный
(3-я темперация Веркмейстера)
Равномерно темперированный
C-D 204 193 204 192 200
С#-D# 204 193 204 204 200
D-E 204 193 182 198 200
D#-F 204 193 182 204 200
E-F# 180 194 204 198 200
F-G 204 194 204 198 200
F#-G# 204 234 224 204 200
G-A 204 193 182 192 200
G#-A# 204 193 182 204 200
A-B 204 193 204 204 200
A#-C 204 193 204 204 200
B-C# 180 234 224 198 200



Малые терции:
  Пифагоров Среднетоновый на 1/4 коммы Натуральный Хорошо темперированный
(3-я темперация Веркмейстера)
Равномерно темперированный
C-D# 294 310 316 294 300
С#-E 318 279 274 300 300
D-F 294 310 294 306 300
D#-F# 294 270 274 294 300
E-G 294 311 316 306 300
F-G# 294 311 316 294 300
F#-A 318 310 294 300 300
G-A# 294 310 294 300 300
G#-B 318 269 274 300 300
A-C 294 310 316 312 300
A#-C# 294 310 316 294 300
B-D 294 310 316 300 300



Большие терции:
  Пифагоров Среднетоновый на 1/4 коммы Натуральный Хорошо темперированный
(3-я темперация Веркмейстера)
Равномерно темперированный
C-E 408 386 386 390 400
С#-F 408 386 386 408 400
D-F# 384 387 386 396 400
D#-G 408 387 386 402 400
E-G# 384 428 428 402 400
F-A 408 387 386 390 400
F#-A# 408 427 406 408 400
G-B 408 386 386 396 400
G#-C 408 386 386 408 400
A-C# 384 427 428 402 400
A#-D 408 386 408 396 400
B-D# 384 427 428 402 400



Квинты:
  Пифагоров Среднетоновый на 1/4 коммы Натуральный Хорошо темперированный
(3-я темперация Веркмейстера)
Равномерно темперированный
C-G 702 697 702 696 700
С#-G# 702 697 702 702 700
D-A 702 697 680 696 700
D#-A# 702 697 680 702 700
E-B 702 697 702 702 700
F-C 702 697 702 702 700
F#-C# 702 737 722 702 700
G-D 702 696 702 696 700
G#-D# 702 696 702 702 700
A-E 702 696 702 702 700
A#-F 702 696 702 702 700
B-F# 678 697 702 696 700

Квинте (и её «сестре» кварте) везёт больше, чем другим интервалам: почти во всех строях она очень близка к чистой (за исключением «волчьих квинт»).



Сравним строи:
Строй Пифагоров Среднетоновый на 1/4 коммы Натуральный Хорошо темперированный Равномерно темперированный
Эпоха С поздней античности до 15 века. 16-17 век Описан в 16 веке, применялся и до этого и после. Конец 17 века - 19 век 20-21 век
Принцип построения Откладываем от исходной ноты чистые квинты Откладываем от исходной ноты квинты, уменьшенные на 1/4 пифагоровой коммы Откладываем от исходной ноты чередование чистых больших и малых терций Откладываем от исходной ноты квинты, размер которых выборочно подкручен Делим октаву на 12 равных частей
Квинты 11 идеальных, одна грязная 11 хороших, одна грязная 9 идеальных, три грязные Одни идеальные, другие хорошие Все одинаковые и всего на 2 цента меньше чистой
Большие терции 8 пифагоровых терций (на 22 цента выше чистой), 4 «волчьих» (на 2 цента меньше чистой) 8 идеальных, 4 очень грязных 7 идеальных, 5 грязных Завышены, размеры варьируются Все одинаковые, на 14 центов больше чистой
Малые терции 9 пифагоровых терций (на 22 цента ниже чистой), 3 «волчьих» (на 2 цента выше чистой) 9 хороших, 3 очень грязных 6 идеальных, 6 грязных Занижены, размеры варьируются. Все одинаковые, на 16 центов меньше чистой
Преимущества Простое и последовательное построение. Чистые квинты (кроме одной) и большие секунды (кроме двух). Чистые большие терции (кроме четырёх грязных), почти чистые малые терции (кроме трёх грязных), почти чистые квинты (кроме одной волчьей). Почти все интервалы в пределах базовой тональности — совершенно чистые Можно играть во всех тональностях без особой фальши. Чистые и почти чистые квинты. У каждой тональности свой характер. Почти чистые квинты и большие секунды, умеренно чистые остальные интервалы, и всё это одинаковое во всех тональностях.
Недостатки Волчья квинта. Совсем нечистые терции. Проблемы с «волчьими» интервалами ещё хуже, чем в пифагоровом строе В тональностях далёких от базовой всё жутко фальшивит. Даже в базовой тональности есть пара нечистых интервалов Ни одна терция не является полностью чистой. Кое-где попадаются заметно нечистые интервалы. Ни одного совершенно чистого интервала, кроме октавы. Терции и тритон существенно отличаются от чистых.




Строи и особенности гармонии взаимно влияли друг на друга. В пифагоровом строе не было чистых терций, поэтому терции в то время не были основой гармонии, а были диссонансным, проходным интервалом. Музыка была более суровая и менее полифоничная. Придумали строи, в которых чистые терции — развился язык классической гармонии, основанной на аккордах, созданных из терций (все эти мажоры и миноры). Появилось желание более свободно менять тональности и усложнить гармонию — мысль двинулась в направлении хорошо темперированных строёв и равномерной темперации.



Так ли плохи нечистые терции? Послушайте чистые и равномерно темперированныe аккорды (РТ).



Да, РТ-аккорды звучат не так чисто, они немножко «плавают». Но можно сказать и наоборот: чистые аккорды по сравнению с РТ-аккордами кажутся застывшими и безжизненными. Мы уже вполне привыкли к тому, что аккорды немного «дышат» — почему бы и нет. А если хочется чистоты — так никто не мешает поиграть на синтезаторах или плагинах, которые поддерживают just intonation, со всеми её плюсами и минусами.



Пара слов для гитаристов. Гитара — инструмент изначально рассчитанный на равномерную темперацию. Расстояние между ладами каждый раз убывает в 21/12 раз. Поэтому все интервалы, которые мы берём на гитаре — равномерно темперированные.

А вот флажолеты дают исключительно чистые интервалы, они иначе не могут, потому что основаны на гармониках струны (их принцип действия я описывал в прошлый раз).

Напомню:
Флажолет на 12-м ладу увеличивает частоту в 2 раза и увеличивает высоту ноты на октаву (2/1)
Флажолет на 7-м или 19-м ладу увеличивает частоту в 3 раза и прибавляет к ноте октаву и ЧИСТУЮ квинту (3=2*3/2)
Флажолет на 5-м или 24-м ладу увеличивает частоту в 4 раза и прибавляет к ноте две октавы (2*2=4).
Флажолет на 4-м, 9-м или 16-м ладу увеличивает частоту в 5 раз и прибавляет к ноте две октавы плюс ЧИСТУЮ большую терцию (5=2*2*5/4).

Поэтому даже если идеально отстроить гитару по мензуре и настроить по тюнеру, то часть флажолетов будут давать «неправильные» ноты.

А именно — флажолеты на 12-м или 5-м ладу будут чистыми (потому что октавы)
Флажолеты на 7-м или 19-м ладу будут на 2 цента высить, потому что именно настолько чистая квинта больше равномерно темперированной.
А вот флажолеты на 4-м, 9-м или 16-м ладу будут сильно — на 14 центов — низить, потому что именно настолько чистая большая терция меньше равномерно темперированной.

Это стоит учитывать при настройке гитары по флажолетам. На идеально настроенной гитаре нота на 8 ладу струны B и флажолет на 12 ладу струны G — это одна и та же нота. Флажолеты на 7 ладу струны G и на 5 ладу струны D — уже отличаются на 2 цента, потому что флажолет на 7 ладу на 2 цента высит.

А вот флажолет на 5 ладу струны B и флажолет на 4 ладу струны G — это уже очень разные ноты. В первом случае это «правильная» B, которая на равномерно темперированную большую терцию выше, чем G, а во втором случае — нота, которая на чистую большую терцию выше, чем G. Разница между ними — 14 центов. Так что если подстроить струну G так, чтобы эти два флажолета совпали, гитара будет совершенно расстроена.

Ещё одна иллюстрация различия между чистой и РТ-большой терцией. Флажолет на 4 ладу нижней струны E и нота на 4 ладу верхней струны E — это вроде бы одна и та же нота G#, но на самом деле нет. В первом случае это нота на чистую терцию выше верхней Ми, во втором — на равномерно темперированную терцию.



Отсюда вывод: настраивать гитару по флажолетам можно, но ни в коем случае не используйте при этом флажолеты на 4-м ладу (и все остальные, дающие чистую терцию: 9 и 16).



Немного видео, которые мне попались в процессе написания поста:

Альбом 2007 года в чистом строе:


Канон Пахельбеля в трёх строях: натуральном, среднетоновом и равномерно темперированном:


Произведение 2008 года в среднетоновом строе:
Tags: длинное, музыка
Subscribe

  • О Ре-миноре

    Наткнулся недавно на статью в Rolling Stone про тональность ре-минор. Автор, кажется, приняла всерьёз шутку из фильма Spinal Tap, про то, что D…

  • Исчезающие песни

    Была такая замечательная группа — Made In Heights, состоящая из вокалистки Kelsey Bulkin и продюсера Sabzi. У них вышел один альбом в 2015 году. Вот…

  • Говорю о музыке: выпуски 4 и 5

    Кстати, я ещё два выпуска сделал, а сюда забыл запостить:

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 3 comments